Question

已知一元二次方程a(b-c)x*2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实根,a,b,c是三角形ABC的三边，且满足

2b=a+c。（1）求a：b：c（2）若上述三角形最短边为5，而方程x^2-(m+2)x+m-3的两根平方和为最长边的3倍，求m的值。

Answer 1

1
一元二次方程a(b-c)x*2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实根
那么判别式
Δ=b²(c-a)²-4ac(a-b)(b-c)=0
∴b²(c²-2ca+a²)-4ac(ab-b²-ac+bc)
=b²c²-2ab²c+a²b²-4a²bc+4ab²c+4a²c²-4abc²
=a²b²+b²c²+4a²c²+2ab²c-4a²bc-4abc²
=(ab+bc-2ac)²=0
∴ab+bc-2ac=0
∵2b=a+c
∴b=(a+c)/2
∴(a+c)²/2-2ac=0
∴(a-c)²=0
∴a=c=b

2
a=b=c=5
方程x^2-(m+2)x+m-3=0的两根为x1,x2
Δ=（m+2)²-4(m-3)≥0恒成立
则x1+x2=m+2,x1x2=m-3
∴x²1+x²2
=(x1+x2)²-2x1x2
=(m+2)²-2(m-3)
=m²+2m+10
根据题意：
m²+2m+10=15
∴m²+2m-5=0
解得：m=-1±√6

有问题再追问吧

追问

如果题干方程是(c-a)x^2+2bx+c+a=0呢

追答

Δ=4b²-4(c-a)(c+a)=0
b²-(c²-a²)=0
∴a²+b²=c²
ΔABC是直角三角形
b=(a+c)/2
a²+(a+c)²/4=c²
∴5a²+2ac-3c²=0
(5a-3c)(a+c)=0
∵a+c>0 ∴5a-3c=0
∴a/c=3/5
∴a:b:c=3:4:5