Question

∫（1/（x²+1）×1/（1-x））dx等于？

Answer 1

1/(x²+1)(1-x)=(ax+b)/(x²+1)+c/(1-x)
则1=-ax²+ax-bx+b+cx²+c
所以c-a=0
a-b=0
b+c=1
所以a=b=c=1/2
所以原式=1/2∫[(x+1)/(x²+1)+1/(1-x)]dx
=1/2[∫xdx/(x²+1)+∫dx/(x²+1)-∫dx/(x-1)]
=1/2[∫1/2dx²/(x²+1)+∫dx/(x²+1)-∫dx/(x-1)]
=1/2*[1/2*ln(x²+1)+arctanx-ln|x-1|]+C

Answer 2

∫1/[(x²+1)(1-x)]dx
=½∫[x/(1+x²)+ 1/(1+x²) -1/(x-1)]dx
=¼ln(1+x²) +½arctanx -½ln|x-1| +C

追问

怎么分解的

有什么方法不

追答

解题多了，就有经验了，可以直接观察得到。
如果不是很熟练，那么可以用待定系数法来解决。
令(ax+b)/(x²+1) +c/(x-1)=1/[(x²+1)(x-1)]
然后求得a、b、c的值，再对积分项进行拆项。