Question

已知关于x的一元二次方程x²-(3k+1)+2k²+2k=0 求证：无论k为何值，方程总有实数根？

已知关于x的一元二次方程x²-(3k+1)+2k²+2k=0
求证：无论k为何值，方程总有实数根？
若等腰三角形ABC的一边长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根，这个三角形的三边长

Answer 1

解：
(1)原方程的判别式为：
△=[-(3k+1)]²-4(2k²+2k)
=9k²+6k+1-8k²-8k
=k²-2k+1
=(k-1)²≥0
所以，无论k取任何实数，原方程总有实数根；

(2)若b、c是两腰，则b=c，那么判别式△=0，则得出k=1，代入原方程得：
x²-4x+4=0
(x-2)²=0
x=2
则b+c=2+2=4<a=6，不能构成三角形；
所以b、c中，一个是底边，一个是腰，则a也是腰，为方便起见，令b为腰，则b=a=6，代入原方程，得：
6²-(3k+1)*6+2k²+2k=0
36-18k-6+2k²+2k=0
k²-8k+15=0
(k-3)(k-5)=0
k=3和5，
将k=3和5分别代入原方程，可得：
方程一：x²-10x+24=0，得x=4和6；则c=4；
方程二：x²-16k+60=0，得x=6和10，则c=10；
所以有两种情形：
①a=6，b=6，c=4，周长=6+6+4=16；
②a=6，b=6，c=10，周长=6+6+10=22；

Answer 2

x²-(3k+1)x+ 2k²+2k=0
判别式=(3k+1)^2-4(2k²+2k)
=9k^2+1+6k-8k²-8k
=k²-2k+1=(k-1)^2>=0
方程总有实数根
若k=1 判别式=0 b=c
x^2-4x+4=0 (x-2)^2=0
b=c=2 不合题意
若k不=1，则b、c中有一个为6
36-6（3k+1）+2k²+2k=0
k=3 k=5
k=3时 x=6 x=4
k=5时 x=6 x=10
这个三角形的三边长 6 6 4 or 6 6 10