Question

在平行四边形ABCD中E，F分别是AD，BC的中点AC分别交BE,DF于点M,N则下列结论正确与否，请证明：

1.三角形ABM全等于三角形CDN;
2AM=1/3AC
3DN=2NF
4S三角形AMB=1/2S三角形ABC

Answer 1

1正确
因为ABCE是平行四边形
所以AB=CD ∠BAE=∠DCF EA=CF=1/2AD=1/2BC
故三角形全等

2正确
由上面两个三角形全等可得∠CFE=∠AEB
由AD//BC得∠ADF=∠CFD 故∠AEB=∠ADF 可得BE//FD
故AM/MN=AE/ED=1/1 即AM=MN
CN/NM=CF/FB=1/1 即CN=MN
得AM=MN=CN=1/3AC

3正确
由1的两个三角形全等，得BM=DN
由2可得NF/DN=NF/MB=CF/CB=1/2
故DN=2NF

4错误
分别过M，C做AB的垂线交AB于G,H
则MG//CH
切MG/CH=AM/AC=1/3
S三角形AMB=1/2*AB*MG
S三角形ABC=1/2&AB*CH
故S三角形AMB=1/3S三角形ABC
而不是一半

Answer 2

连BD,交AC于点O. 将平行四边形ABCD绕O旋转180度，即可看到△ABM与△CDN重合，因此命题1正确。也可用角边角证明两个三角形全等

由于平行四边形对角线互相平分，因此BE、AO为△ABD的中线，M为重心。故AM=2/3AO=1/3AC. 因此命题2正确。

同上可证N为△CDB重心,故DN=2NF. 因此命题3正确。

△ABM与△ABC分别以AM、AC为底，具有相同的高，而AM=1/3AC，故△ABM的面积＝△ABC的面积/3. 因此命题4错误。

Answer 3

第三问看不懂