Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③2EG=BG；④S△ABC=5S△AGE；其中正确的有______．（填序号）

Answer 1

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=

1

2

AD，BF=

1

2

BC，
∴DE=BF，
而DE∥BF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴BE=DF，所以①正确；
∵AE∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴

AG

CG

=

EG

BG

=

AE

BC

=

1

2

，
∴CG=2AG，BG=2GE，所以③正确；
同理可得AF=2CH，
∴AG=GF=HC，所以②正确；
∵△AEG∽△CBG，
∴

S△AEG

S△BCG

=（

AE

BC

）²=

1

4

，即S_△BCG=4S_△AEG，
∵BG=2GE，
∴S_△ABG=2S_△AEG，
∴S_△ABC=5S_△AGE；所以④正确．
故答案为①②③④．

Answer 2

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=
1
2
AD，BF=
1
2
BC，
∴DE=BF，
而DE∥BF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴BE=DF，所以①正确；
∵AE∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴
AG
CG
=
EG
BG
=
AE
BC
=
1
2
，
∴CG=2AG，BG=2GE，所以③正确；
同理可得AF=2CH，
∴AG=GF=HC，所以②正确；
∵△AEG∽△CBG，
∴
S△AEG
S△BCG
=（
AE
BC
）2=
1
4
，即S△BCG=4S△AEG，
∵BG=2GE，
∴S△ABG=2S△AEG，
∴S△ABC=5S△AGE；所以④正确．
故答案为①②③④．