Question

在三角形ABC中，已知A²tanB=B²tanA，试判断三角形的形状。

用正弦定理解题。

Answer 1

请问A的平方是不是边a的平方，问一下
如果是，则有正弦定理的 a=2rsinA,b=2rsinB
代入到已知式中(2rsinA)²tanB=(2rsinB)²tanA
即4r²sin²AtanB=4r²sin²BtanA
即sin²AtanB=sin²BtanA
即sin²AsinB/cosB=sin²BsinA/cosA
所以sinA/cosB=sinB/cosA
即sinAcosA=sinBcosB
所以2sinAcosA=2sinBcosB
即sin2A=sin2B
即2A=2B或2A+2B=180
所以A=B或A+B=90
a所以此三角形为直角三角形或等腰三角形

Answer 2

利用正弦定理可知：

a²tanB=b²tanB可以化为:a²sinB/cosB=b²sinA/cosA,即：a²b/cosB=b²a/cosA。

利用余弦定理化简得：acosA=bcosB,即：a(b²+c²-a²)/2bc=b(a²+c²-b²)/2ac。

化简得：（a²-b²）c²=(a²+b²)(a²-b²).

所以a=b或a²+b²=c²,即三角形为等腰三角形或直角三角形