Question

高一数列题

1.在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=(2an)/(2+an)。证明：{1/an}是等差数列
2.数列{an}满足[2a(n+1)]=an+a(n+2),他的前n项和为sn,且a3=10,s6=72,bn=(1/2)an-30,求数列前n项和的最小值

下标都用括号括起来了，详细过程，谢谢！！！

Answer 1

1、证明：由题意，a(n+1)*(2+an)=2an
即2an-2a(n+1)=a(n+1)*an
左边除以右边，整理得1/a(n+1)-1/an=1/2
所以：{1/an}是首项为1，公差为1/2的等差数列
2、[2a(n+1)]=an+a(n+2),即a(n+1)-an=a(n+2）-a(n+1),数列an是等差数列
a3=a1+2d=10,s6=6*(a1+a1+5d)/2=72，联解得a1=2,d=4
所以an=4n-2
所以bn=(4n-2)/2-30=2n-31
数列bn的前n项和为Sn=n(2n-60)/2=(n-15)^2-225
当n=15时，最小值Sn=-225。

Answer 2

1.因为1/a(n+1)-1/a(n)=(2+an)/(2an)-1/a(n)=1/2为常数，所以{1/an}是等差数列,首项为1/a1=1,公差为1/2;
2.[2a(n+1)]=an+a(n+2)即[a(n+1)]-an=a(n+2)-a(n+1),所以{an}是等差数列，a3=a1+2d=10,s6=(a1+a6)*6/2=(a1+a1+5d)*3=72两式联立得a1=2,d=4,所以an=2+(n-1)*4=4n-2;bn=(1/2)(4n-2)-30=2n-31,n=15时，bn和最小，为-225.