Question

一道无穷级数的问题，谢谢老师！

Answer 1

f(x)=lim(n→∞) x2*[1/(1+x2)+1/(1+x2)2+……+1/(1+x2)n]
这是一个关于x的函数,对于后面的极限,x被看作常数
而利用等比数列求和公式
x2*[1/(1+x2)+1/(1+x2)2+……+1/(1+x2)n]
=x2*[1/(1+x2)]*[1-[1/(1+x2)]n] / [1-[1/(1+x2)]]
=x2*[1/(1+x2)]*[1-1/(1+x2)n] / x2/(1+x2)
=1 - 1/(1+x2)n
因此
f(x)
=lim(n→∞) x2*[1/(1+x2)+1/(1+x2)2+……+1/(1+x2)n]
=lim(n→∞) 1 - 1/(1+x2)n
={1,x≠0
{0,x=0
那么,明显当x≠0时,f(x)恒为1,明显是连续的
当x=0时,f(x)=0≠1=lim(x→0) f(x),根据定义,明显不连续
故原命题成立

追问

真是太感谢了！

Answer 2

首先看n趋于无穷大时这个式子的值是不是趋近于无穷小，A显然不是，而是趋近于1D我暂时没法证它是收敛的但是这道题并不需要考虑这么多因为其他几个明显都不收敛。估计老师也没打算让你证D。