Question

天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星

天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

答案为：
http://gzwl.cooco.net.cn/testdetail/153574/

其中
设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2。根据题意有
ω1＝ω2①

r1＋r2＝r②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

【 Gm1m2/r*r＝m1ωr1③】

Gm1m2/r*r＝m2ωr2④

联立以上各式解得r1＝m2r/m1+m2⑤

根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝2π/T⑥

联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝4π*π/T*T*Gr3⑦

【 Gm1m2/r*r＝m1ωr1③】中，左边是两颗恒星的万有引力，右边是其中一颗恒星绕连线上那一点的向心力，他们为什么会相等呢？

Answer 1

如图

双星系统的运行轨迹如图所示，A的轨迹为绿色的圆，B的轨迹为红色的圆

其中A、B双星围绕其质量中心M分别做匀速圆周运动

只不过它们运动半径不一样而已，但是周期完全相同

在任意时刻，A、B所在位置的连线都经过质量中心M，而其A、B间的距离保持不变，如图中A'，B'点就是经过一段时间运动后A、B的新位置。

有了这个图你就能理解为什么它们之间的万有引力是其中一颗星的向心力了！

Answer 2

楼下说的都有理，其实有一个最简单的方法：极限思考
假设两颗恒星的质量相差极大，这里可以想象成地球-太阳，显然地球和太阳的质量之和可以单纯地看成太阳的质量，那么很简单就可以推导出M=4π^2r^3/GT^2