Question

已知函数f（x）=lg（ax^2+2x+1）若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域。

Answer 1

首先，分a=0或不等于0两种情况。
a=0时，f（x）=lg（2x+1）此时只要限定2x+1在（0,1）和（1，正无穷）的范围内就可以使得f（x）值域为R，对应的函数定义域为（-2/1,0）并上（0，正无穷)

a不等于0时，f（x）=lg（ax^2+2x+1），此时可设g（x）=ax^2+2x+1，要使得原函数值域为R，则函数g（x）=0的判别式必须大于等于0，即2^2-4a大于等于0，则a小于等于1且a不为0 求定义域的时候，需要g（x）大于0且不等于1，
分为a小于0跟大于0不小于1来讨论。
再结合二次函数的图像就能解答了。

Answer 2

因为f（x）的值域是R，所以u=ax2+2x+1的值域⊇（0，+∞）．
当a=0时，u=2x+1的值域为R⊇（0，+∞）；
当a≠0时，u=ax2+2x+1的值域⊇（0，+∞）等价于a＞04a-44a≤0.
解之得0＜a≤1
所以实数a的取值范围是[0.1]当a=0时，由2x+1＞0得x＞-12，
f（x）的定义域是（-12，+∞）；
当0＜a≤1时，由ax2+2x+1＞0
解得x＜-1+1-aa或x＞-1-1-aa
f（x）的定义域是(-∞，-1+1-aa)∪(-1-1-aa，+∞)．

Answer 3

当a=0时，存在x∈D使2x+1∈（0,1）∪（1，+∞）
当a≠0时，令g(x)=ax^2+2x+1,则a>0，且△.>=0
综上 为【0,1】

Answer 4

那么说明(0，正无穷)包含于{y∣y=ax^2+2x+1}
a不是0时
所以y=ax^2+2x+1中△>=0
并且a>0
所以0<a<=1
a=0时也显然成立
所以0
<=a<=1

Answer 5

a<=1或a=0