Question

两道不等式数学题

已知x,y∈R+,且1/x+2/y=1,分别求xy和x+2y的最小值
若x,y∈R且x+2y=2,则2^x+2^y的最小值为
是两道题目请看清

Answer 1

解：由基本不等式可得：1/x+2/y≥2√(2/xy)，即1≥2√2/xy

两边同时平方得：1≥8/xy，故：xy≥8，

当且仅当1/x=2/y，且1/x+2/y=1,即x=2，y=4时等号成立。

因此，xy的最小值为8。

因为1/x+2/y=1，所以x+2y=(x+2y)(1/x+2/y)=5+2y/x+2x/y

由基本不等式可得：2y/x+2x/y≥2√(2y/x×2x/y)=4

于是，x+2y=5+2y/x+2x/y≥5+4=9，

当且仅当2y/x=2x/y，且1/x+2/y=1,即x=y=3时等号成立。

因此，x+2y的最小值为9。

因为x+2y=2,所以x+(y-1)+(y-1)=0

以下求最值的过程将用到均值不等式的三元形式，即“三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”

用符号语言表达，即“若a，b，c均为正数，则(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)”

于是，2^x+2^y=2^x+2×2^(y-1)=2^x+2^(y-1)+2^(y-1)≥3 [2^(x+y-1+y-1)]^(1/3)=3

当且仅当2^x=2^(y-1)，且x+2y=2，即x=0，y=1时等号成立

因此，2^x+2^y的最小值为3。

Answer 2

用基本不等式
1=1/x+2/y≥2√（（1/x）X （2/y））
∴2/xy≤1/4
∴xy≥8 xy最小值为8
x+2y=（x+2y）×（1/x+2/y）=1+4+2y/x+2x/y≥5+2√（（2y/x）×（2x/y））=9
∴x+2y≥9 x+2y的最小值为9
嘿嘿，第二题一下子想不来怎么做了。