Question

函数y=f(x)是R上的增函数, 若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 证明a+b≥0 求解

Answer 1

若f(x)在R上为增函数，则 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的充分必要条件。

证：
一. 必要性的证明。
f(x)在R上为增函数，f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 意味着a,b 中，至少一个为正。
不失一般性，设a>0.
如b>0, 则 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 成立。
如b<0, 则 a+b>0 --> b>-a --> f(b)>f(-a) (1)
且因 b<0 --> f(a)>f(-b) (2)
(1)+(2) --> f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 成立。
也就是说，由 a+b>0 可得出 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)。
即：f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 是 a+b>0 的必要条件。 必要性得证！

二. 充分性的证明。
f(x)在R上为增函数. 设f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)对一切a,b成立。
令 a=0 --> f(0)+f(b)>f(0)+f(-b) --> f(b)>f(-b) --> b>0 (3)
令 b=0 --> f(a)+f(0)>f(a)+f(0) --> f(a)>f(-a) --> a>0 (4)
(3)+(4) --> a+b>0
即：f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 是 a+b>0 的充分条件。 充分性得证！

Answer 2

用反证法
假设a+b<0，则a<-b，b<-a，
∵f(x)是R上的增函数，
∴f(a)<f(-b)，f(b)<f(-a)，
相加得，f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)，
与题设矛盾，
∴假设不成立，a+b≥0得证.