Question

数学函数题

设α、β为方程x²+2(m+3)x+2m+4=0的两个实根，求m为何值时，（α-1)²+(β+1)²有最小值，最小值是多少？

Answer 1

同学你好，用x1和x2表示两个根吧，这样在电脑上输入方便点
x1，x2为方程x²+2(m+3)x+2m+4=0的两个实数根，
根据根与系数的关系，得
x1+x2=-2(m+3)，x1x2=2m+4.
∴(x1-1)²+(x2-1)²=x1²-2x1+1+x2²-2x2+1=(x1²+2x1x2+x2²)-2x1x2-2(x1+x2)+2
=(x1+x2)²-2x1x2-2(x1+2x)+2
=4(m+3)²-2(2m+4)+4(m+3)+2
=4m²+24m-42 =4(m+3)²-78.
∴当m=-3时，原式有最小值-78

Answer 2

因为方程有2根,所以根判别式=4(m+3)^2-4(2m+4)=4m^2+24m+36-8m-16=4m^2+16m+20= 4(m^2+4m+5)=4[(m+2)^2+1]>0
所以m的取值范围是 R

根据韦达定理:
α+β = -2(m+3)
αβ = 2m+4

(α-1)²+(β+1)²
=α²-2α+1+β²-2β+1
=α²+β²-2(α+β)+2
=(α+β)^2-2αβ-2(α+β)+2
=4(m+3)²-2(2m+4)+4(m+3)+2
=4(m+3)²+6
当m=-3时, 有最小值 6

Answer 3

这道题 有一定的迷惑性

根据韦达定理有
α+β=-2(m+3)
αβ=2m+4
故αβ+2+(α+β)=0
α(β+1)+(β+1)+1=0
(α+1)(β+1)=-1
β+1=-1/(α+1)

故(α-1)^2+(β+1)^2
=(α-1)^2+1/(α+1)^2
≥2|(α-1)/(α+1)|

当|α-1|=1/|α+1|时不等式取得等号
由此取得α=±√2或α=0
将三值代入不等式，可知，α=√2时，不等式取得最小值6-4√2，即(α-1)^2+(β+1)^2最小值为6-4√2
再将α=√2代入原方程式，可得
2+2（m+3)√2+2m+4=0
解得m=-3

Answer 4

→a+b=-2(m+3),ab=2m+4,|b-a|=2√(m²+4m+5),因为：T=m²+4m+5≥1所以b-a>0
(a-1)²+(b+1)²=a²+b²+2(b-a)+2
=(a+b)²-2ab+2(b-a)+2
=4(m+3)²-2(2m+4)+4√(m²+4m+5)+2
=4(m²+5m+7.5)+4√(m²+4m+5)

讨论：因为A=(m²+5m+7.5)²>1
比较T,应该取A最小值即可保证整个有最小
→m=-5/2时有最小值
→剩下的自己计算