Question

用数学归纳法证明1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1) n^2

Answer 1

解：1-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*[n(n+1)]/2

（1）当n=1时1=(-1)^0成立 即当n=1时上式成立
（2）假设当n=K（K为正自然数）时上式成立即
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2
则当n=K+1时
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^(K-1)*K(K+1)/2+(-1)^K*（K+1）^2=(-1)^K*(K+1)(K+2)/2
既当n=K+1时上式也成立
综上 由（1）（2）知 1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n(n+1)/2

Answer 2

应该是(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2吧
先证明一项和成立
1=(-1)^0*1(1+1)/2=1
假设对于n项和成立
1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2
n+1项和
1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2+(-1)^(n)*(n+1)^2
=(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2+(-1)^(n)*(n+1)^2
=(-1)^(n)*(n+1)^2-(-1)^(n)*n*(n+1)/2
=(-1)^(n)*[(n+1)^2-n*(n+1)/2]
=(-1)^(n)*[(n+1)(n+1-n/2)]
=(-1)^(n)*(n+1)(n+2)/2
该等式对于n+1项和也成立，由数学归纳法证得1-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^(n-1)*n*(n+1)/2对于所有的正整数n成立