Question

一道数学题 数列

已知数列an的前n项和sn=1/2*n平方+pm，数列bn的前n项和为tn=2的n次方-1且a4=b4，求数列an，bn的通项公式，和若对于数列cn=2an*bn，求出cn的前n项和rn

Answer 1

在数列{an}中，Sn=(1/2)n²+pn，a4=S4-S3=p+7/2
在数列{bn}中，Tn=2^n-1，b4=T4-T3=8，
∵a3=b4，∴p=9/2，
∴在数列{an}中，Sn=(1/2)n²+9n/2，
当n=1时，a1=S1=5，
当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=n+4
∴an=n+4，n∈N*.

在数列{bn}中，Tn=2^n-1，
当n=1时，a1=1，
当n≥2时，bn=Tn-T(n-1)=2^(n-1)
∴bn=2^(n-1)，n∈N*.

在数列{cn}中，cn=2an*bn=2(n+4)* 2^(n-1)= (n+4)* 2^n
前n项和Rn=5×2+6×2²+7×2³+…+ (n+4)* 2^n，
2 Rn=5×2²+6×2³+7×2^4+…+ (n+3)* 2^n+ (n+4)* 2^(n+1)，
相减得，- Rn=5×2+2²+2³+…+ 2^n-(n+4)* 2^(n+1)，
Rn=(n+4)* 2^(n+1)-5×2-(2²+2³+…+ 2^n)
=(n+4)* 2^(n+1)-10-4(2^(n-1)-1)
=(n+3)* 2^(n+1)-6，n∈N*.