Question

此为数学分析中的典型问题与方法中的一道例题，书中给出的解答是错误的。

此为数学分析中的典型问题与方法中的一道例题，书中给出的解答是错误的。
请高手帮忙给做一下，感激不尽。

f(x)为R上的有界实函数，
f(x+13/42）+f(x)=f(x+1/7)+ f(x+1/6),
求出f(x)的较小正周期。
解：
令x=t-13/42，则f(t-13/42+13/42）+f(t-13/42)=f(t-13/42+1/7)+ f(t-13/42+1/6),即f(t）+f(t-13/42)=f(t+1/6)+ f(t+1/7),
又 f(x+13/42）+f(x)=f(x+1/7)+ f(x+1/6),
则由这两个式子可得f(t）+f(t-13/42)=f(t+13/42）+f(t）
即f(t-13/42)=f(t+13/42），
再令t=y+13/42，代入上式得f(t)=f(t+13/21）
故最小正周期为 13/21
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此解中即f(t）+f(t-13/42)=f(t+1/6)+ f(t+1/7),
这一步错了吧。应改为f(t）+f(t-13/42)=f(t-1/6)+ f(t-1/7)才对吧。

不过还是感谢啊！

在书中的答案是1/42，但其解答过程却明显错误。不过我觉得1/42应该是对的吧。我就是不知道是怎么求出来的。
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用MATLAB软件解答 很easy
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我大学学的那点MATLAB早就忘光了，还请高手帮我做一下，给出解题过程就行。谢谢了。

Answer 1

1/42的结果应该是这样得到的吧
由f(x+13/42）+f(x)=f(x+1/7)+ f(x+1/6)得
1.f(x+1/6+1/7）-f(x+1/6)=f(x+1/7)-f(x)
令g(x)=f(x+1/7)-f(x)则g(x+1/6)=g(x)
2.f(x+1/6+1/7）-f(x+1/7)=f(x+1/6)-f(x)
令h(x)=f(x+1/6)-f(x)则h(x+1/7)=h(x)
若由此可以确定1/6,1/7是f(x)的周期的话，则f(x)的最小正周期的最大值是1/42。

在下虽然说证明不出来也举不出反例，但是感觉从
g(x)=f(x+1/7)-f(x)是周期函数就说明f(x)也是周期函数不一定成立。

其实：
由等式f(x+13/42）+f(x)=f(x+1/7)+ f(x+1/6)可知如果13/42，1/7，1/6都是f(x)的周期的话，等式恒成立。用正数T去除13/42，1/7，1/6都得正整数的话，T都可能是f(x)的正周期。
比如：f(x)=c(c为常数)就是一个周期函数，任意非0数都是它的周期，这个函数就满足要求。我在想甚至都可以举出不是周期函数的函数满足上面的条件呢。

Answer 2

解：
令x=t-13/42，则f(t-13/42+13/42）+f(t-13/42)=f(t-13/42+1/7)+ f(t-13/42+1/6),即f(t）+f(t-13/42)=f(t+1/6)+ f(t+1/7),
又 f(x+13/42）+f(x)=f(x+1/7)+ f(x+1/6),
则由这两个式子可得f(t）+f(t-13/42)=f(t+13/42）+f(t）
即f(t-13/42)=f(t+13/42），
再令t=y+13/42，代入上式得f(t)=f(t+13/21）
故最小正周期为 13/21

Answer 3

解：
令x=t-13/42，则f(t-13/42+13/42）+f(t-13/42)=f(t-13/42+1/7)+ f(t-13/42+1/6),即f(t）+f(t-13/42)=f(t+1/6)+ f(t+1/7),
又 f(x+13/42）+f(x)=f(x+1/7)+ f(x+1/6),
则由这两个式子可得f(t）+f(t-13/42)=f(t+13/42）+f(t）
即f(t-13/42)=f(t+13/42），
再令t=y+13/42，代入上式得f(t)=f(t+13/21）
故最小正周期为 13/21

Answer 4

x=t-13/42

f(t-13/42+13/42）+f(t-13/42)=f(t-13/42+1/7)+ f(t-13/42+1/6),

f(t）+f(t-13/42)=f(t+1/6)+ f(t+1/7),

f(x+13/42）+f(x)=f(x+1/7)+ f(x+1/6),

则由这两个式子可得f(t）+f(t-13/42)=f(t+13/42）+f(t）

即f(t-13/42)=f(t+13/42）

t=y+13/42，代入上式得f(t)=f(t+13/21)

最小正周期为 13/21

Answer 5

这是裴礼文的一本很厚的数学分析书里面的周期函数一节的一个例题