Question

已知集合A=｛X X=m^2-n^2,m，n属于Z｝求证

（1）任何奇数都是A的元素
（2）偶数4K-2 （k属于Z） 不属于A

Answer 1

(1)对于任意一个奇数2*k+1，k属于Z，存在m=k+1,n=k使m^2-n^2=2*k+1,所以任何奇数都是A的元素；
(2)分三种情况：一：m和n都是偶数时，X=m^2-n^2为四的倍数；
二：mn一奇一偶时，X=m^2-n^2为奇数；
三：mn全为奇数时，m^2-n^2=（m-n）（m+n）其中（m-n）和（m+n）都是偶数，所以此时X=m^2-n^2也为四的倍数；
故4K-2 （k属于Z） 不属于A 。