Question

这是一道高数的题目，我没想通怎么解，求达人给详细过程，题目很简单

有如下条件：f ``(x)+ f(x)=2 exp(x) 这里（f ``是2阶导数）； f（0）=0；
f`（0）=2 （这里f `是1阶导数）
条件就这3个，求f（x）的表达式，求教。

Answer 1

f ``(x)+ f(x)=2 exp(x)
上式是一个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
它所以对应的齐次方程为
f ``(x)+ f(x)=0
相应地此齐次方程的特征方程为
r^2+1=0
得特征根r1=i,r2=-i
故齐次方程的通解为C1cosx+C2sinx
又题目中所给非齐次项为2 exp(x) ，我们可以利用待定系数法求出原方程的一个特解exp(x)
所以原方程的通解为C1cosx+C2sinx+exp(x)
又由f（0）=0得C1=-1
f`（0）=2得C2=1
所以f(x)=-cosx+sinx+exp(x)