Question

高中数学 解三角形

下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪里？
在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是？
解法一：△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x
即2＜x＜2√2.
解法二：a/sinA=b/sinB，sinA=asinB/b=xsin45°/2=√2x/4
△ABC有两解，bsinA＜a＜b,2×√2x/4＜x＜2,即0＜x＜2.
显然解法一是对的。我想问的就是解法二错在哪里，跟着那个思路算好像找不到破绽的呀。求大神指教。答对加分。

Answer 1

△ABC有两解，对于完全不确定的三角形，“bsinA＜a＜b”和“asinB＜b＜a”都有可能出现。但是问题就在于“a＜b”和“b＜a”不能同时成立，这违背了不等式的三歧性原则。

题目里已知了“a=x，b=2，B=45°”，就说明这是个部分不确定的三角形，而不是完全不确定的三角形。结合一下图形可知，实际情况只可能是“asinB＜b＜a”，而不可能是“bsinA＜a＜b”！

具体的东西讲起来比较晕，原因是您对类似“bsinA＜a＜b”这样关系的推导过程不熟悉。在本题中的实际情况是a和b的关系不等价，不能随便互换位置。a是长短可伸缩的边，而b是定边，结合∠B已知，这个三角形就很特别了。特别到是三角形两解产生的边只可能是b，而绝不可能是a。所以a和b不能调换位置。

去画个图吧，以给定的条件“a=x，b=2，B=45°”为基础，看看能不能画出“a＜b时，△ABC有两解”的草图。勤动手，您就知道为什么了。