Question

您好，请问这道题怎么做？谢谢？求∫(a²－x²)∧½dx，a>0

Answer 1

令 x/a = sin u,  dx=acosu du

原式= a ∫ (1-sin^2 u)^1/2 *acosudu

= a^2 * ∫ cosu*cosu du

=a^2 * ∫ cos^2 u du

=a^2*(1/2) ∫ (1+cos 2u)du

=(1/2) a^2 [ u + (1/2)sin2u ] + C

=(1/2)a^2 [ arcsin(x/a) + (1/2) sin 2(arcsinx/a ) ] + C

作为基础知识，要先学学换元积分法：如图

还得会三角函数公式法：

最后再代换回x,  因为x=sint,  所以t=arcsinx

追问

谢谢您的解答，但是您的答案与书上结果不符，请参看巴山蜀水的答案，他的答案是正确的

追答

=(1/2) a^2 [ u + (1/2)sin2u ] + C
=(1/2) a^2 [ u + (1/2)*2sinucosu] +C
=(1/2) a^2 [ u + (1/2)*2sinu√(1-sin^2u)] +C
=(1/2) a^2 [ arcsinx/a + x√(1-x^2/a^2)] +C
=(1/2) a^2 arcsinx/a + (a/2)*x√(a^2-x^2) +C
就是把sin2u再变成2sinucosu之后再代换x

Answer 2

解：分享一种解法。设x=asint，
∴原式=(a^2)∫(cost)^2dt=(a^2/2)∫(1+cos2t)dt=(a^2/2)[t+(1/2)sin2t]+C=(a^2/2)arcsin(x/a)+(1/2)x√(a^2-x^2)+C。
供参考。

追问

为什么要设x＝asint?请问x为什么等于asint?

追答

进行换元替换，去根号，便于求解啊。

追问

奥，但是为什么x就等于asint,不等于别的数呢。还有让x=asint没有依据啊，请问是由什么式子推导出来的呢？我对此很困惑，谢谢您的解答！

奥，但是为什么x就等于asint,不等于别的数呢。还有让x=asint没有依据啊，请问是由什么式子推导出来的呢？我对此很困惑，谢谢您的解答！

追答

对含有因子√(a^2-x^2)的被积函数，用换元法求解，通常假设x=asint【或者x=acost】去根号求解。
这样变形/变化的理论基础是勾股定理（直接三角形的边角关系）。供参考。

追问

您好，还是不懂，t是怎么来的，您能详细讲讲吗，谢谢您！可以提高悬赏