Question

已知函数fx=1/3x^3-2x^2+ax(x∈R,a∈R),在曲线y=fx的所有切线中，有且仅有一条切线1与直线y=x垂直

1.求a的值呵切线1的方程
2.设曲线y=fx上任一点处的切线的斜率为b，求b的范围

Answer 1

1.
f'(x)=x^2-4x+a=-1
x^2-4x+(a+1)=0
此方程只能有重根
16-4（a+1)=0
a=3

此时：
x^2-4x+4=0
x=2
切点：(2,2/3)
切线1的方程:y=-(x-2)+(2/3)
y=-x+(8/3)

2.
f'(x)=x^2-4x+a
b=x^2-4x+a=x^2-4x+3=(x-2)^2-1>=-1
即：-1<=b<+无穷大