Question

已知函数fx=-x^3+3x^2+ax+b在点p(1,f(1))的切线与直线12x-y-1=0平行， （1）求实数a的值

（2）求f(x)的单调减区间
（3）若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值

Answer 1

已知函数f(x)=-x^3+3x²+ax+b在点p(1，f(1))的切线与直线12x-y-1=0平行
(1) 求实数a的值?
(2) 求f(x)的单调减区间?
(3) 若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值?

问题一：
(1) 求实数a的值?
方法一：
解： 设函数f(x)=-x^3+3x²+ax+b在点p(1，f(1))的切线为k，根据题意得到：
∵ 函数f(x)=-x^3+3x²+ax+b 【^n表示n次幂；x^3表示x的3次方，依此类推】
∴ 函数f(x)的导数为：f '(x)=[-x^3]'+[3x²]'+[ax]'+[b]'
=-3x²+6x+a
∵ 函数f(x)=-x^3+3x²+ax+b在点p(1，f(1))的切线
∴ 函数的切线的斜率为：切点位置函数的导数，
k=f '(1)=-3+6+a
=a+3
∵ 切线与直线12x-y-1=0平行
∴ k=f '(1)=a+3=12，即：
a+3=12
a=9

方法二：
∵ 函数f(x)=-x^3+3x²+ax+b
∴ f(1)= -1+3+a+b
=a+b+2
函数f(x)=-x^3+3x²+ax+b在点p(1，f(1))作切线
∴ 设切线j解析式为：F(x)=y=k(x-1)+(a+b+2)
=kx+(a+b+2-k)
函数f(x)与切线F(x)有一个交点p(1，f(1))，那么，f(x)-F(x)=0的解，只有唯一一个解：x=1
f(x)-F(x)=-x^3+3x²+ax+b-kx-(a+b+2-k)=0
x^3-3x²-(a-k)x+(a-k)+2=0
(x^3-1)-(3x²-3)-(a-k)x+(a-k)=0
(x-1)(x²+x+1)-3(x+1)(x-1)-(a-k)(x-1)=0
(x-1)(x²-2x+k-a-2=0
解方程得到：
x=1，x={2±√[4-4(k-a-2)]}/2 【说明：√()表示()中的开根号，√[]表示{}中的开根号】
=1±√(a+3-k)
∵ f(x)-F(x)=0的解，只有唯一一个解：x=1
1±√(a+3-k)=1
a+3-k=0
a+3=k
∵ 切线与直线12x-y-1=0平行
∴ k=a+3=12，即：
a+3=12
a=9

问题二：
(2) 求f(x)的单调减区间
∵ 函数f(x)=-x^3+3x²+ax+b， a=9
∴ 函数f(x)的导数为：f '(x)=-3x²+6x+9
∴ f '(x)=0，即：
-3x²+6x+9=0
解方程得到：
x=-1，x=3
列表分析函数f(x)及其导数f '(x)的单调性、极值点，如下：
(-∞,-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) ↓ f(-1) ↑ f(3) ↓
极小值 极大值
函数f(x)的单调性为：
f(x)递增区间：x∈[-1，3]
f(x)递减区间：x∈(-∞,-1) U (3，+∞)

问题二：
(3) 若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，求函数f(x)在该区间上的最小值?
解：
∵ f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20
∴ f(x) x∈[-2，-1] 单调递减；
f(x) x∈[-1，2] 单调递增；
因此，可以知道：x∈[-2,2]时，函数f(x)既有递减区间，又有递减区间
根据问题二中“列表分析函数f(x)及其导数f '(x)的单调性、极值点”可知道：
x=-1时，函数f(x)有最小值f(-1)

∵ f(x)=-x^3+3x²+9x+b，在区间[-2,2]上的最大值为20
∴ 函数f(x)=-x^3+3x²+9x+b的最大值为：f(-2)=20，或f(2)=20
因为：x∈[-2,2]时，函数f(x)既有递减区间，又有递减区间，所以在b值不确定的情况下，x∈[-2,2]的最大值有以下两种可能：
有可能f(-2)为函数f(x)=-x^3+3x²+9x+b的最大值；
也有可能f(2)为函数f(x)=-x^3+3x²+9x+b的最大值；

i）当f(-2)=20时，
f(-2)=-x^3+3x²+9x+b=20
-(-2)^3+3×(-2)²+9×(-2)+b=20
8+12-18+b=20
b=18
∴ 函数f(x)=-x^3+3x²+9x+18
x=-1时，函数f(x)有最小值f(-1)
f(-1)=-(-1)^3+3×(-1)²+9×(-1)+18
=1+3-9+18
=13

iI）当f(2)=20时，
f(2)=-x^3+3x²+9x+b=20
-(2)^3+3×(2)²+9×(2)+b=20
-8+12+18+b=20
b=-2
∴ 函数f(x)=-x^3+3x²+9x-2
x=-1时，函数f(x)有最小值f(-1)
f(-1)=-(-1)^3+3×(-1)²+9×(-1)-2
=1+3-9-2
=-7
综上所述：
当b=18时，函数f(x)为：f(x)=-x^3+3x²+9x+18，若在区间[-2,2]上最大值为20 ，则最小值为13；
当b=-2时，函数f(x)为：f(x)=-x^3+3x²+9x-2，若在区间[-2,2]上最大值为20 ，则最小值为-7；

Answer 2

（1）求导 fx’=-3x^2+6x+a ∵在点p(1,f(1))的切线与直线12x-y-1=0平行
∴当x＝1时 fx’=3+a=12 ∴a=9
（2）由（1）得 ∵a=3 ∴fx’=-3x^2+6x+9=-3(x-3)（x+1）
单调减区间为（负无穷，-1]U[3，正无穷）
（3）由（2）得 ∵f2=22+b＞f-2=2+b 所以b=-2 所以 f（x）min=f（-1）=-7

Answer 3

解答如下：

祝你好运！~~~