Question

求圆心在Y轴上,且与直线L1:4X-3Y+12=O,直线L2:3X-4Y-12=0都相切的圆的方程

求圆心在Y轴上,且与直线L1:4X-3Y+12=O,直线L2:3X-4Y-12=0都相切的圆的方程

请给详细过程和答案。谢谢...

Answer 1

这个题目花了我好多的时间啊,
为了把内容写少一些,请注意我的图,先看图.如果图觉得不够细,可向我要一个很精确的图.
因为这个图是完全用CAD作的图.

一些很基本的东西,我希望你已经明白了,比如,一个园到和二条直线相切,那就是这个园的园心在这二个直线成的夹角的平分线上.
对于二条相交直接相切的园,从这个交点出去应该是有四个射线方向,并且,相邻的二条射线垂直.这个也明白吧.

因为直线限制了园心在Y上,所以,本题目符合条件的园只有二个,在图中已经画出来了

很明显,直线L1:4X-3Y+12=O,直线L2:3X-4Y-12=0 是关于X=Y对称的.所以,我们要要求的一个园的园心就在原点上.
令园的方程为 XX+YY=RR R是半径啦不用说的

我们可用几何方法求到R,不过,这儿我感觉用代数方法来得快.因为相切,所以平下列方程只有一解
4X-3Y+12=O
XX+YY=RR
代入令△=0有
R=2.4

所以我们得到一个园的方程 XX+YY=2.4^2

另一个园的方程, 一个最简单的方法可这样考虑,
因为(-12,-12),(0,0) 和这个点(0,Y)是直角三角形,所以Y容易求出来,(-12,-12处是直角)
这个点是 (0,-24)
P(x0,y0)点到直线Ax+By+C=0的距离公式为：
d=[Ax0+By0+C的绝对值]/[(A^2+B^2)的算术平方根]。
根据它得到R=84/5

所以另一个园的方程是
XX+(Y+24)^2=(84/5)^2