Question

已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1 讨论函数的单调性

Answer 1

显然函数定义域:x∈(0,+∞)
求导:f'(x)=(a+1)/x+2ax
=(2ax^2+a+1)/x
1.a=0
f'(x)=1/x>0
故f(x)在全域单增
2.a>0
f'(x)>0
故f(x)在全域单增
3.-1<a<0
令f'(x)=0
则x=根号下(-(a+1)/2a)
列表
x (0,根号下(-(a+1)/2a) 根号下(-(a+1)/2a) (根号下(-(a+1)/2a),+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
故f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
4.a≤-1
f'(x)≤0
故f(x)在全域单减
综上a≥0时，f(x)域上单增
-1<a<0时，f(x)在(0,根号下(-(a+1)/2a)上单增，在(根号下(-(a+1)/2a),+∞)上单减
a≤-1时，f(x)在全域单减
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