求最值问题
已知函数f(x)=x²+ax+1/x²+a/x+b(x∈R且x≠0)若a、b为实数使f(x)=0有实根则a²+b²的最小值是()A...
已知函数 f(x)=x²+ax+1/x²+a/x+b (x∈R 且 x≠0) 若a、b为实数使f(x)=0有实根 则 a²+b² 的最小值是 ( )
A. 4/5
B.3/4
C.1
D.2 展开
A. 4/5
B.3/4
C.1
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设t=x+1/x,则|t|>=2,
f(x)=0有实根<==>
g(t)=t^2+at+b-2=0在|t|>=2有实根，<==>
{a^2-4(b-2)>=0,①
{g(2)=2a+b+2<=0,或g(-2)=-2a+b+2<=0,②
①表示以抛物线a^2=4(b-2)为界的含原点的一侧，②表示两条直线分成的不含原点的对顶角区域。原点到上述两个区域的交集的最短距离
d=2/√5，
∴a^2+b^2的最小值=d^2=4/5.
f(x)=0有实根<==>
g(t)=t^2+at+b-2=0在|t|>=2有实根，<==>
{a^2-4(b-2)>=0,①
{g(2)=2a+b+2<=0,或g(-2)=-2a+b+2<=0,②
①表示以抛物线a^2=4(b-2)为界的含原点的一侧，②表示两条直线分成的不含原点的对顶角区域。原点到上述两个区域的交集的最短距离
d=2/√5，
∴a^2+b^2的最小值=d^2=4/5.
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