Question

高一函数问题

已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在定义域上是减函数,满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-2)>1

Answer 1

解：依题意，f(x)+f(x-2)>1 即为
f(x)+f(x-2)>f(3)
可化为
f(x(x-2))>f(3)
由 f(x)在定义域上是减函数，则
x(x-2）<3
解之可得
-1<x<3
又：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对于f(x-2),须 x-2>0，即x>2
于是，解为 2<x<3

Answer 2

解：由题意，
f(x)+f(x-2)=f(x*（x-2))>f(3)
函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在定义域上是减函数
所以得不等式组：x>0
x-2>0
x(x-2)<3
解得2<x<3

Answer 3

解
∵ f(x)在定义域上是减函数,
∴ f(x-2) - f(x) >0 ①.
已知 f(x)+f(x-2)>1 ②,
①+②, f(x-2)+ f(x-2) >1 ③.
已知满足 f(xy)=f(x)+f(y)，
故由③, f[(x-2) (x-2)] >1 ④,
已知 f(3)=1,
故由④, f[(x-2) (x-2)] > f(3),
∵ f(x)在定义域上是减函数,
∴ (x-2) (x-2)<3,
∴ (x-2) <√3,
或者 (x-2) >-√3,
即 -√3< (x-2) <√3,
∴ 2-√3 < x< 2+√3.

Answer 4

f[x(x-2)]=f(x)+f(x-2)>1 f(3)=1 x(x-2)>1 结合所给定义域求得x大于根号2加1