Question

圆的一般方程

1.求经过点P（-2，4）、Q（3，-1）两点，并且在X轴上截得的弦长等于6的圆的方程
2.定长为4的线段AB的两个端点A，B分别在X轴和Y轴上滑动，求线段AB的中点M的轨迹。
3.已知圆的方程是X^2+Y^2-2X=0,点P（X，Y）在圆上运动，求2X^2+Y^2的最值。

详细过程。谢谢

Answer 1

(1)
设所求圆的方程为，(x-a)^2 + (y-b)^2 = c.
则，
y = 0,
(x-a)^2 = c - b^2,
x1 = a + (c-b^2)^(1/2),
x2 = a - (c-b^2)^(1/2).
2(c-b^2)^(1/2) = 6,
c - b^2 = 9,
c = b^2 + 9.

(-2-a)^2 + (4-b)^2 = c,
(3-a)^2 + (-1-b)^2 = c.

4 + 4a + a^2 + 16 - 8b + b^2 = 9 - 6a + a^2 + 1 + 2b + b^2,
10a - 10b + 10 = 0,
a = b - 1.

[3-(b-1)]^2 + (-1-b)^2 = b^2 + 9,
(4-b)^2 + (1+b)^2 = b^2 + 9,
16 - 8b + b^2 + 1 + 2b + b^2 = b^2 + 9,
b^2 - 6b + 8 = 0,
(b-2)(b-4) = 0,
b = 2,或者，b = 4.
a = 1,或者，a = 3.
c = 13,或者，c = 25.

所求圆的方程为，(x-1)^2 + (y-2)^2 = 13,或者，(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25.

(2)中点为M
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
在直角三角形OAB中，OM=1/2AB=2
根据圆的定义，M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆 (除去与坐标轴的4个交点）
轨迹方程为x^2+y^2=4^2（x≠0，±2)

Answer 2

Answer 3