Question

如图，线段AB的长为1. （1）线段AB上的点C满足

如图，线段AB的长为1.
（1）线段AB上的点C满足关系式AC²=BC*AB，求线段AC的长度；
（2）线段AC上的点D满足关系式AD²=CD*AC，求线段AD的长度；
（3）线段AD上的点E满足关系式AE²=DE*AD，求线段AE的长度；
上面各小题的结果反映了什么规律？
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Answer 1

第(1)小题：

设AC=x,根据ACxAC=BCxAB,且BC=AB-AC,AB=1

x^2=(1-x)

x^2+x-1=0

因为x>0

x=(-1+√5)/2

即 AC=(-1+√5)/2

第(2)小题:

设AD=y,根据ADxAD=CDxAC,且CD=AC-AD,已求得AC=x=(-1+√5)/2

y^2=(x-y)x

y^2+xy-x^2=0

因为y>0

y=[-x+(x√5)]/2=(3-√5)/2

即AD=(3-√5)/2

第(3)小题:

设AE=z,根据AExAE=DExAD,且DE=AD-AE,已求得AD=y=(3-√5)/2

z^2=(y-z)y

z^2+yz-y^2=0

因为z>0

z=[-y+(y√5)]/2=√5-2

即AE=√5-2

每题所求长度都是上一题所求线段的黄金分割，即

AD=[(√5-1)/2]AC

AE=[(√5-1)/2]AD

乘法：

①求几个几是多少；

②求一个数的几倍是多少；

③求物体面积、体积；

④求一个数的几分之几或百分之几是多少。

除法：

①把一个数平均分成若干份，求其中的一份；

②求一个数里有几个另一个数；

③已知一个数的几分之几或百分之几是多少求这个数；

④求一个数是另一个数的几倍。

Answer 2

第(1)小题：
设AC=x,根据ACxAC=BCxAB,且BC=AB-AC,AB=1
x^2=(1-x)
x^2+x-1=0
因为x>0
x=(-1+√5)/2
即 AC=(-1+√5)/2

第(2)小题:
设AD=y,根据ADxAD=CDxAC,且CD=AC-AD,已求得AC=x=(-1+√5)/2
y^2=(x-y)x
y^2+xy-x^2=0
因为y>0
y=[-x+(x√5)]/2=(3-√5)/2
即AD=(3-√5)/2

第(3)小题:
设AE=z,根据AExAE=DExAD,且DE=AD-AE,已求得AD=y=(3-√5)/2
z^2=(y-z)y
z^2+yz-y^2=0
因为z>0
z=[-y+(y√5)]/2=√5-2
即AE=√5-2

每题所求长度都是上一题所求线段的黄金分割，即
AD=[(√5-1)/2]AC
AE=[(√5-1)/2]AD

Answer 3

1.AC²=BC*AB,BC=AB-AC=1-AC,故AC²=1-AC，解方程得AC=（-1+根号5)/2
2.AD²=CD*AC，CD=AC-AD，故AD²=（AC-AD）*AC，AD=（3-根号5)/2
3.AE²=DE*AD，DE=AD-AE，故AE²=（AD-AE）*AD, AE=根号5-2
三个方程都为形如x²+b-b²=0的方程，方程的正实数根为x=b*（-1+根号5)/2，（b为长线段长度）。AD=AC*（-1+根号5)/2；AE=AD*（-1+根号5)/2 。下一题结果均为上一题结果之黄金分割。第三小题我原来算错了，抱歉。

Answer 4

第(1)小题：
设AC=x,根据ACxAC=BCxAB,且BC=AB-AC,AB=1
x^2=(1-x)
x^2+x-1=0
因为x>0
x=(-1+√5)/2
即 AC=(-1+√5)/2

第(2)小题:
设AD=y,根据ADxAD=CDxAC,且CD=AC-AD,已求得AC=x=(-1+√5)/2
y^2=(x-y)x
y^2+xy-x^2=0
因为y>0
y=[-x+(x√5)]/2=(3-√5)/2
即AD=(3-√5)/2

第(3)小题:
设AE=z,根据AExAE=DExAD,且DE=AD-AE,已求得AD=y=(3-√5)/2
z^2=(y-z)y
z^2+yz-y^2=0
因为z>0
z=[-y+(y√5)]/2=√5-2
即AE=√5-2

每题所求长度都是上一题所求线段的黄金分割，即
AD=[(√5-1)/2]AC
AE=[(√5-1)/2]AD

Answer 5

应该是（1）线段AB上的点C满足关系式AC的平方=BC乘AB，求线段AC的长
ac=x
x^2=1-x
其实就是黄金分割的问题
x=（根号5-1）/2
ad=y
y^2=x(x-y)
(y/x)^2=(1-y/x)
y/x=（根号5-1）/2
y=(3-根号5)/2
同理
ae=z
z/y=（根号5-1）/2
z=根号5-2