Question

排列组合问题。

有四个问题，近似但不相同，想拿分请说明白四个问题的差异之处，各问题的具体解法以及最终结果。
1。把五个无差异的信件放到三个无差异邮筒里面，允许有空桶的存在。
2。把五个有差异的信件放到三个无差异邮筒里面，允许有空桶的存在。
3。把五个无差异的信件放到三个有差异邮筒里面，允许有空桶的存在。
4。把五个有差异的信件放到三个有差异邮筒里面，允许有空桶的存在。

各位看清楚题目了！

Answer 1

所谓有无差异，其实是顺序的问题。
我把题目换个问法：
1、把 AAAAA, 111 分成三组，每组必须有一个数字
2、把 ABCDE, 111 分成三组，每组必须有一个数字
3、把 AAAAA, 123 分成三组，每组必须有一个数字
4、把 ABCDE, 123 分成三组，每组必须有一个数字

一题。
既然顺序都不重要，那么分成三组时，3组的A数量不能大于2组；2组的A数量不能大于1组。
AAAAA1 1 1 [1]
AAAA1 A1 1 [1]
AAA1 AA1 1, AAA1 A1 A1 [2]
AA1 AA1 A1 [1]
共5种。

二题。
做此题时必须考虑到：单独组内的顺序不重要，即有差异的信封放在同一个邮筒里的顺序无所谓 (AB1 = BA1)。
下文运算符c即计算器中的运算符nCr。
ABCDE1 1 1 [(5c5)(0c0)(0c0) = 1]
ABCD1 E1 1, ... [(5c4)(1c1)(0c0) = 5]
ABC1 DE1 1, ABC1 D1 E1, ... [(5c3)(2c2)(0c0) + (5c3)(2c1)(1c1) = 30]
AB1 CD1 E1, ... [(5c2)(3c2)(1c1) = 30]
共66种。

三题。
每个123可以有 3! = 3×2×1 = 6种不同的组合方法。
既然字母没有差异，那么三题的结果就是一题的结果乘以6。
AAAAA1 2 3, ... [1×6 = 6]
AAAA1 A2 3, ... [1×6 = 6]
AAA1 AA2 3, AAA1 A2 A3, ... [2×6 = 12]
AA1 AA2 A3, ... [1×6 = 6]
共30种。

四题。
既然数字和字母都有差异，那么四题的结果就是二题的结果乘以3!即乘以6。
ABCDE1 2 3, ... [1×6 = 6]
ABCD1 E2 3, ... [5×6 = 30]
ABC1 DE2 3, ABC1 D2 E3, ... [30×6 = 180]
AB1 CD2 E3, ... [30×6 = 180]
共396种。

Answer 2

第一题：5个信件一起 1种 5：0分置
4个信件一起 1种 4：1分置
3个信件一起 2种 3：2， 3：1：1分置
2个信件一起 1种 2：1：2分置，因为桶没区别 所以一共是5种放法。
第二题： 可以以第一种做法为思想
5个信件一起 1种
4个信件一起 先5选4，再放=4种
3个信件一起 先5选3=10种然后3：2：0和3：1：1放置，因为桶没区别，所以只有2种即得20种方式
2个信件一起 先5选2，再3选2，桶无区别所以是30种
第三题：还是照第一题做法
5个信件一起 1种分置方式，3桶有差异=3种
4个信件一起 1种分置方式，3桶有差异*2=6种4：1：0的排列
3个信件一起 2种分置方式，再排列=12种
2个信件一起 1种分置方式，再排列=3种
第四题：很简单，都有差异，第一封信有3种选择，第二封信有3种选择。。。类退就是3*3*3*3*3=243种

Answer 3

1，无差异的信放在无差异的邮筒中，就是说邮筒是不用排序的，比如当5封信放在一个邮筒中时，只考虑一种情况，而不用区分放在哪一个中。 用枚举法：
(5,0,0)(4,1,0)(3,2,0)(3,1,1)(2,2,1) 共5种

2, 和上题的差别在信是有差异的，比如：(4,1,0)时要看那个单独的一封是哪个:
(5,0,0) 只有一种
(4,1,0) 有C(5,1)=5种
(3,2,0) 有C(5,3)=10种
(3,1,1) 有C(5,3)=10种
(2,2,1) 有C(5,2)*C(3,1)=30种
一共:1+5+10+10+30=56种

3, 和一的差别在比如(5,0,0)的情况,要看5个信件是放在哪个邮筒中,最简单的方法是用隔板法,先增加3封信,每个邮筒各放一个,这样就是8封信放在3个邮筒中,不允许空着. 用2个隔板, C(7,2)=21 种

4, 信和筒都要考虑排序.每封信有三个选择,3*3*3*3*3=243种.

Answer 4

（一）类似于：若x,y,z∈Z,且0≤x≤y≤z,求方程x+y+z=5的解的个数。穷举法。5个。还类似于：把5个完全一样的球，放入3个一样的盒子内，允许有空盒，求放法。（二）类似于：把5个不同的球分为三堆，允许有空堆，求分法。分类讨论可知有41种。（三）结合第一问，先分三堆，再分到3个不同的盒子中。分法=5×3！=30种。（四）先分堆，再放入盒内。按乘法原理可知，分法有41×3!=246.

Answer 5

1.三个筒全满,两个筒两个,另一个一个,一个筒三个其余各一个有两种可能
一个筒空的,一个筒四个,一个筒一个,一个筒三个,另一个两个有两种情况
两个筒空的就一种情况
所以有2+2+1=5 2.根据上面的三种情况.C52+C32+C53+C54+C53+C11=39
3.C32+C31+A32*2+C11=19
4.(C52+C32+C53+C54)*A33+C53*A33+C31=231