Question

在三棱锥P-ABC中 顶点P在平面ABC内的射影是三角形ABC的外心 求证PA=PB=PC

Answer 1

设P在平面ABC射影为O，则PO⊥平面ABC，
O是三角形的外心，
则AO=BO=CO，
〈POA=〈POB=POC=90度，
PO=PO=PO（公用边），
RT△PAO≌RT△PBO≌RT△PCO，
∴PA=PB=PC。

Answer 2

设P在三角形ABC的外心为o，做OD垂直AB于E；则DE为AB的垂直平分线，且PE垂直三角形ABC，即PE垂直AB，DE垂直AB，所以AB垂直面PDE，所以PE垂直平分AB,所以三角形APE与BPE全等，所以AB=BP,同理可证BP=CP,所以AP=BP=CP

Answer 3

设P在三角形ABC的外心为o，做AB中点为E，连OE。∵PE⊥ABC，∴PE⊥AB，DE⊥AB，PE∩DE=E.∴AB⊥面PDE，∴PE垂直且平分AB,△APE≌△BPE。∴AP=BP,同理可证BP=CP,∴AP=BP=CP