Question

三棱锥P-ABC中，顶点P在底面ABC上的射影为O。 （A）重心 （B）外心 （C）内心 （D) 垂心

1、若PA=PB=PC，则点O是三角形ABC的（ ）
2、若侧棱和底面所成角相等，则点O是三角形ABC的（ ）
3、若PA、PB、PC两两垂直，则点O是三角形ABC的（ ）
4、若相对棱互相垂直，则点O是三角形ABC的（ ）
5、若侧面和底面所成角相等且O在三角形ABC内部，则点O是三角形ABC的（ ）
6、若点P到三角形ABC三边距离相等且O在三角形ABC内部，则点O是三角形ABC的（ ）
请写出答案及详细过程。

Answer 1

1、外心。∵PA=PB=PC，而OA、OB、OC分别是它们的射影，
∴OA=OB=OC，
∴O是底△三边垂直平分线的交点，
∴O是外心。
2、外心。
∵<OAP=<OBP=<OCP,
OA=OP* cot<OAP,
OB=OP*cot<OBP,
OC=OP*cot<OCP,
∴OA=OB=OC，
∴O是△ABC的外心。
3、垂心。
连结AO，延长并BC于D，连结BO并延长并AC于E，
∵AP⊥BP⊥CP，
BP∩CP=P，
∴AP⊥平面BCP，
∵BC∈平面BCP，
∴AP⊥BC，
∵OP⊥平面ABC，BC∈平面ABC，
∴BC⊥OP，
∵AP∩OP=P，
∴BC⊥平面PAD，
∵AD∈平面PAD，
∴BC⊥AD，
同理AC⊥BE，
∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高，
∴O是两高的交点，故是垂心。
4、垂心，用三垂线定理，即可证明出AD、BE是高，
故是垂心。
5、内心，分别作三个侧面△的斜高，
用三垂线定理，可证明OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
则〈PDO、〈PEO、〈PFO分别是三侧面与底面所成二面角的平面角，
〈PDO=〈PEO=〈PFO。
∵OD=OP*cot<PDO,
OE=OP*cot<PEO，
OF=OP*cot<PFO，
∴OD=OE=OF，
∴O是内心。
6、内心，
PD=PE=PF，
根据三垂线定理，
OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
根据勾股定理，
OD^2=PD^2-OP^2,
OE^2=PE^2-OE^2,
OF^2=PF^2-OP^2,
∴OD=OE=OF，
∴O是△内心。