Question

高二不等式证明

已知a、b都是正数，且a≠b，求证
a/√b+b/√a>√a+√b

Answer 1

若a>b
则√a>√b
而若a<b
则√a<√b
所以a-b和√a-√b同号
(a-b)(√a-√b)
a√a+b√b>a√b+b√a
两边除以(√ab)
a√a/√ab+b√b/√ab>a√b/√ab+b√a/√ab
a/√b+b/√a>√a+√b

Answer 2

a/√b+b/√a-（√a+√b ）
=√a（√a/√b-1）+√b（√b/√a-1）
=√a（√a-√b）/√b+√b（√b-√a）/√a
=（√a-√b）（√a/√b-√b/√a）
=（√a-√b）(a-b)/√（ab）
=（√a-√b）²（√a+√b）/√（ab）
（√a-√b）²＞0
所以（√a-√b）²（√a+√b）/√（ab）＞0
所以a/√b+b/√a>√a+√b

Answer 3

用cauchy不等式(x^2+y^2)(m^2+n^2)》(mx+ny)^2

对cauchy不等式令x^2=√a，y^2=√b,m^2=b/√a,n^2=a/√b
带入有xm=√b，ny=√a
所以（a/√b+b/√a）（√a+√b ）》（√a+√b ）^2
所以a/√b+b/√a》√a+√b
等号成立当且仅当a=b
所以a/√b+b/√a>√a+√b