Question

问一道高一集合的数学题~~

当元素是正整数的集合S满足命题“如果x∈S，则10-x∈S”时，回答下面问题
1.试写出只有一个元素的集合S
2.试写出元素个数为2的集合
3.满足上述命题的集合S共有多少个

前两问我都懂，但第三问实在是弄不明白啊，怎么写啊？？哪位学得好的，教一下，感激不尽~~
可第三题的答案是“2的5次方-1=31”,为什么啊为什么~~

Answer 1

1.{5}
2.{4，6}
3.因为元素只能是正整数，我们先考虑只有一个元素和两个元素的情况，
那么有{1，9}，{2，8}，{3，7}，{4，6}，{5}共5种
接下来就是排列组合问题了
取上述5种里的一个，两个，三个，四个，五个组合起来都满足，其他情况不行
所以总共有C(1,5)+C(2,5)+C(3,5)+C(4,5)+C(5,5)=31种

Answer 2

1、x=5，只有1种情况
2、s={1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}，有4种情况
第三问的意思就是满足命题“如果x∈S，则10-x∈S”的可能个数，而且x是正整数。
总共5个
{5}{1,9}{2,8}{3,7}{4,6}

Answer 3

前两问都懂，第三问不是一样的吗。
一个元素的一个{5}，
两个元素有4个，{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}

Answer 4

若一个集合有n个元素, 则子集个数为2^n个，包括该集合空集在内。

10-x>=1, :. x<=9.
有x>=1 :. 1<=x<=9
则有: 2^9个 ，减去一个空集，满足条件的有2^9-1

确实还需要进一步考虑，数量不是2^9-1

Answer 5

集合S中的元素除了5可以单独出现外，总是成对出现的：有1必有9，有2必有8，有3必有7，有4必有6.
因此只要考虑1～5是否出现在集合S中即可。1～5每个元素都有两种选择（出现或不出现）。根据乘法原理，这样的集合共有2^5=32个

注：32个集合包含了空集这种特殊情况。如果题目条件加上集合S不是空集，则只有31个集合。

Answer 6

根据题目的要求，元素均为正整数，则有
x=1，2，...,9
10-x=1,2,...,9
10-x的值取决于x的取值，再根据集合的无序性，x取5以后的值时，S集合与5以前的集合重复，因此共有5个满足条件的集合S。