Question

已知函数f(x)满足 根号3 f(x)-f(1/x)=x^2,求出f(x),并证明f(x)≥根号3

重点是 f(x)≥根号3 怎么求

Answer 1

√3f(x)-f(1/x)=x² ①
√3f(1/x)-f(x)=1/x² ②
①×√3+②
2f(x)=√3x² +1/x²
f(x)=(√3/2)x²+ 1/(2x²)
分式有意义，x≠0
函数解析式为f(x)=(√3/2)x²+ 1/(2x²)，(x≠0)
由基本不等式得f(x)≥2√[(√3/2)x²·1/(2x²)]=⁴√3
f(x)≥⁴√3

Answer 2

√3f(x)-f(1/x)=x²……………………………………①
令x=1/t，则：√3f(1/t)-f(t)=1/t²
即：√3f(1/x)-f(x)=1/x²…………………………②
联立①②消去f(1/x)得：f(x)=(1/2)[√3x²+(1/x²)]
≥(1/2)×2√[√3x²*(1/x²)]
=√(√3)