Question

如图，M、N分别是△ABC的边AC,AB上的点，在AB上求作一点P，使△PMN的周长最小，并说明你的理由

Answer 1

记M关于AB对称的点叫S。（就是说MS垂直AB，且MS被AB平分）
连接SN，当SN和AB的交点为P的时候，三角形PMN周长最小。

理由说明如下：
显然因为MN固定，所以只要让PM+PN最小。考察AB上任意一点Q，我们只要证明MQ+QN>MP+PN就可以了。
由于S和M关于AB对称，所以MQ=SQ，MP=SP。
所以MQ+QN=SQ+QN，MP+PN=SP+PN=SN
因为“两边之和大于第三边”，所以SQ+QN>SN=SP+PN=MP+PN。
也就是说，把现在的P移动到任意一个点Q，算出来的周长都会比现在的大，也就是说我们之前定下来的P是最好的答案。