Question

已知a,b,c满足a²+b²=c²，且a,b,c∈（0，+∞）。

（1）求证：log2[1+(b+c)/a]+log2[1+（a-c）/b]=1
(2)设log4[1+(b+c)/a]=1,log8(a+b-c)=2/3，求a,b,c的值

Answer 1

答：
(1)等号左边
=log(2)(1+(b+c)/a+(a-c)/b+(ab+ac-bc-c^2)/ab)
=log(2)((ab+b^2+bc+a^2-ac+ab+ac-bc-c^2)/ab)
=log(2)((ab+bc-ac+ab+ac-bc)/ab)
=log(2)((2ab)/ab)
=log(2)2
=1=右边
所以原式成立
(2)
即(b+c)/a=3 ①，a+b-c=4 ②，
①得c=3a-b，②得c=a+b-4
所以3a-b=a+b-4，即a=b-2，代入①中得c=2b-6
由a^2+b^2=c^2得
(b-2)^2+b^2=(2b-6)^2
即b^2-10b+16=0，(b-8)(b-2)=0
所以b=8或b=2
当b=8时，a=6，c=10
当b=2时，a=0分母为0不符合。舍去。
所以a=6，b=8，c=10

Answer 2

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