Question

设a1=2,an+1=1/2(an+1/an),n=1,2,....... 证明lim n趋向于正无穷an

求证明过程 非常感谢！

Answer 1

a1=2>1，所以1/a1<1<a1，an+1=1/2(an+1/an)≥1，an+1=1/2(an+1/an)<1/2(an+an)=an，an在1与2之间有界收敛，故存在极限，且可得极限为1。

数学归纳法，证明a_n单调递减，并且有界。

所以存在极限，再两边n。

趋向于正无穷an，得到lim n趋向于正无穷an=1。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

a1=2;
a2=5/4<a1;
a3=41/40<a2
假设n=k时，a(k+1)<a(k)
即(1/2)(ak + 1/ak)<ak
→ak²>1
则当n=k+1时,a(k+2)=(1/2)(a(k+1) + 1/a(k+1) )
=(1/2)( (1/2)(ak + 1/ak) + 2/(ak + 1/ak) )
=(1/2)( (1/2)(ak² + 1)/ak + 2ak/(ak² + 1) )
>1
∴an单调递减

令
lim n趋向于正无穷an=A，则有
A=1/2(A+1/A)
→A=1

Answer 3

数学归纳法，证明a_n单调递减，并且有界

所以存在极限，再两边n
趋向于正无穷an，得到lim n趋向于正无穷an=1