Question

如何求圆的轨迹方程 求最好方法？

Answer 1

直接法 由题设所给的动点满足的几何条件列出等式，再把坐标代入并化简，得到所求轨迹方程，这种方法叫做直接法。 例1 已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。 解：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得 。 （1）当x≤3时，方程变为 ，化简得 。 （2）当x>3时，方程变为 ，化简得 。 故所求的点P的轨迹方程是 或。 二、定义法 由题设所给的动点满足的几何条件，经过化简变形，可以看出动点满足二次曲线的定义，进而求轨迹方程，这种方法叫做定义法。 例2 已知圆 的圆心为M1，圆 的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得： ，。 。 ∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。 故所求轨迹方程为 。 三、待定系数法 由题意可知曲线类型，将方程设成该曲线方程的一般形式，利用题设所给条件求得所需的待定系数，进而求得轨迹方程，这种方法叫做待定系数法。 例3 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 ，求此双曲线方程。 解：设双曲线方程为 。将y=x－1代入方程整理得 。 由韦达定理得 。又有 ，联立方程组，解得 。 ∴此双曲线的方程为 。 四、参数法 选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得到动点轨迹的参数方程，再消去参数，从而得到动点轨迹的普通方程，这种方法叫做参数法。 例4 过原点作直线l和抛物线 交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 解：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程 ，得 。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得 。 设A（ ），B（ ），M（x，y），由韦达定理得 。 由 消去k得 。 又，所以 。 ∴点M的轨迹方程为 我只有这四种，应付高中数学足够了
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