Question

如图,抛物线与x轴交于点B(-2,0),C(4,0),与y轴的正半轴交于点A

如图，抛物线与x轴交于点B（-2,0）、C（4,0），与y轴正半轴交于点A，且tan∠ABC=2.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）平行四边形DEFG的一边在线段BC上，另两个顶点E、F分别在线段AC和线段AB上，且∠EFG=∠ABC，若点D的坐标为（m,0）,平行四边形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值。
（3）点N在线段BC上运动，连接AN，将△ANC沿直线AC翻折得到△AN‘C，AN’与抛物线的另一个交点为M，若点M恰好将线段AN‘分成1:3两部分，球求的N的坐标。
（要详细的过程，thanks）

Answer 1

(2)

DEFG为平行四边形，∠EFG = ∠FGB = ∠ABC

三角形BFG为等腰三角形，BF = FG = DE

D(m, 0)

AC的方程为x/4 + y/4 = 1， y = 4 - x

E(e, 4 - e)

AB: x/(-2) + y/4 = 1, y = 4 + 2x

y = 4 - e, x = -e/2, F(-e/2, 4 - e)

G(g, 0)

GD = m - g = FE = 3e/2, g = m - 3e/2

G(m - 3e/2, 0)

BF = FG, F的横坐标为B,G的横坐标的平均值：(-2 + m - 3e/2)/2 = -e/2, e = 2(m - 2)

GD = 3e/2 = 3(m - 2)

E的纵坐标h = 4 - e = 4 - 2(m - 2) = 2(4 - m)

S = h*GD = 6(4 - m)(m - 2)

4 - m = m - 2时, S最大，为6

(3)

AC的方程为y = 4 - x, 斜率为-1

取N(n, 0)，NN'与AC垂直，斜率为1, NN'的方程为y = x - n

二者联立，得交点D((4 + n)/2, (4 - n)/2)

令N'(p, q), D为NN'的中点：

(p + n)/2 = (4 + n)/2, p = 4

(q + 0)/2 = (4 - n)/2, q = 4 - n

N'(4, 4 - n), A(0, 4)

M(m, -m²/2 + m + 4)

AM : MN' = 1 : 3

(m - 0) : (4 - m) = 1 : 3

m = 1, M(1, 9/2)

AN'的方程为y = -nx/2 + 4

M在AN‘上，可得n = -2

N(-2, 0)