Question

求极限 答案是e的-1次

Answer 1

设：y = ((3-e^x)/(x+2))^(1/sin(x))
lny=1/sin(x)*ln((3-e^x)/(x+2));
现求lim(1/sin(x)*ln((3-e^x)/(x+2)))当x->0时极限;
对上式进行求导得：
(-e^x*ln(e)/(x+2)-(3-e^x)/(x+2)^2)/cos(x)
把x=0,代入得lny=-1;
故y=e^-1

Answer 2

　　利用等价无穷小
　　　ln(1+x) ~ x ，sinx ~ x (x→0)，
极限
　　　lim(x→0)(1/sinx)*ln[(3-e^x)/(x+2)]
　　= lim(x→0)(1/sinx)*ln[1+(1-x-e^x)/(x+2)]
　　= lim(x→0)(1/sinx)*[(1-x-e^x)/(x+2)]
　　= lim(x→0)[1/(x+2)]*lim(x→0)[(1-x-e^x)/x]
　　= (1/2)*lim(x→0)[(1-x-e^x)/x] (0/0)
　　= (1/2)*lim(x→0)[(-1-e^x)/1]
　　= (1/2)*(-2)
　　= -1，
所以
　　g.e. = e^(-1)。