Question

设f(x)=x^2ln(1+x),则f^(n)(0)= (n>=3)

求函数f(x)=x^2ln(1+x)在x=0处的n阶导数（n≥3)，希望每一步都够详细，。百度搜的看不懂，就是用泰勒公式做，。展开怎么只有一项的，。求大神，谢谢！

Answer 1

这个直接展开成x的多项式形式就好了先用泰勒公式展开ln(1+x)=((-1)^n)*(1/n)*x^n然后把x^2乘进去就好了！～～即f(x)=x^2ln(1+x)=((-1)^n)*(1/n)*x^n+2 哦 这里忘说了 这个之所以是f(x)的n阶导是因为 f(x)是可以展开成上面那个关于x的级数的多项式，其中这个多项式的第n项必然为这个函数的n阶导数，因为前面低于n阶的都在求导时为0了。大概就是这个意思了，关键是知道怎么把f(x)等价为多项式

追问

能一步一步写么，泰勒展开怎么能直接N阶导？和x^2相乘怎么能单独求导呢?还有泰勒展开式带的余项是什么？怎么没了？最后答案都没说啊！！

Answer 2

追问

你这个最后的答案是0么？不对啊，而且这种形式的泰勒公式我们没有的，展开ln(1+x)=0+x-x^2/2+……+（-1）^(n-1)*x^n/n+余项，这个怎么处理？

追答

不好意思,打快了.把泰勒公式里的f(n)(x)x^n换成f(n)(0)x^n,这是当x0=0时的泰勒展开,即麦克劳林展开.至于余项,当n取到无穷时就没余项了.最终结果还是0.

追问

但是答案不是0。。、是[（-1）^(n-1)]*n!/(n-2)...

追答

纠正一下,多项式对应项不是对应，而是对应，因为要求x次数相等。于是，完整的解答应该是这样：

(n>=3)

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