Question

在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC,则三角形ABC的形状是？谢谢了，大神帮忙啊

Answer 1

如下： 令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC 所以a=ksinA b=ksinB c=ksinC 代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC sin2A+sin2B=2sinCcosC sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC 2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC sin(A+B)=sin(180-C)=sinC 所以cos(A-B)=cosC 所以A-B=C A=B+C 所以A=90 所以是直角三角形

Answer 2

cosA=（b平方+c平方-a平方）/2bc,同理可得cosb和cosc 所以acosA+bcosB=ccosC可转化为 （b平方+c平方-a平方）/2bc+（a平方+c平方-b平方）/2ac=(a平方+b平方-c平方)/2ab 化简得2a平方b平方-a四次方-b四次方=-c四次方 即a平方+b平方=c平方,所以这个三角形为直角三角形

Answer 3

由正弦定理，a:b:c＝sinA:sinB:sinC，所以由acosA+bcosB=ccosC得sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC，所以sin(2A)＋sin(2B)＝sin(2C) 和差化积，2sin(A+B)cos(A-B)＝sin(2C)＝2sinCcosC，所以cos(A-B)＝cosC 因为A，B，C都是三角形的内角，所以A－B＝C，所以A＋B＋C＝2A＝180°，A＝90° 所以，三角形ABC为直角三角形