Question

偶函数fx满足f(1-x)=f(1+x)，且在定义域[0,1] 时fx=根号（2x-x平方）。

若直线kx-y+k=0（k大于0）与fx的图像有且仅有三个交点，则k的取值范围

Answer 1

本题采用数形结合方法较为简单，而关键在于确定f(x)图象

 

先观察一下[0,1]上f(x)的图象：

令y=f(x)，显然y≥0

则有(x-1)^2+y^2=1（圆）

表明[0,1]上f(x)的图象是1/4圆

又f(1-x)=f(1+x)

即f(x)关于x=1对称

则[0,2]上f(x)的图象是1/2圆（半圆）

又f(x)是偶函数

即f(x)关于y轴对称

则[-2,0]上f(x)的图象也是一个半圆

由此可知，在定义域R上f(x)图象是无数半圆构成的波形（如图）

 

再分析一下直线的特征：

因y=k(x+1)

表明直线过定点(-1,0)

又k>0

表明直线为斜向上的直线

 

要使直线与f(x)图象有且仅有三个交点

则直线必与[0,1]上f(x)图象相交，且必与[1,2]上f(x)图象相离

即直线必与圆(x-1)^2+y^2=1相交，且必与圆(x-3)^2+y^2=1相离（平移）

 

联立直线与圆(x-1)^2+y^2=1有(k^2+1)x^2+2(k^2-1)x+k^2>0

则有⊿=4(k^2-1)^2-4(k^2+1)k1^2>0

解得0<k<√3/3（注意到k>0）

联立直线与圆(x-3)^2+y^2=1有(k^2+1)x^2+2(k^2-3)x+k^2+8<0

则有⊿=4(k^2-3)^2-4(k^2+1)(k1^2+8)<0

解得k>√15/15（注意到k>0）

 

综上所述，满足条件的k的取值范围为(√15/15，√3/3)