Question

xyz=1 x+y+z=2 x平方+y平方+z平方=16 求(xy+2z)分之1+(yz+2x)分之1+(zx+2y)分之1 求具体步骤 过程

Answer 1

因为z=2-x-y，所以1/(xy+2z)=1/(xy+4-2x-2y)=1/(x-2)(y-2)
同理1/(yz+2x)=1/(y-2)(z-2)；1/(zx+2y)=1/(z-2)(x-2)
再设r=x-2,s=y-2,t=z-2
题目变为求1/rs+1/st+1/rt=(r+s+t)/rst
而题中三个已知条件变为(r+2)(s+2)(t+2)=1①,r+s+t=-4②
(r+2)²+(s+2)²+(t+2)²=16③
展开① rst+2(rs+rt+st)+4(r+s+t)+8=1即rst+2(rs+rt+st)=9④
展开③ r²+s²+t²+4(r+s+t)+12=16即r²+s²+t²=20⑤
展开②²得到r²+s²+t²+2(rs+st+rt)=16⑥
⑤代入⑥得到rs+st+rt=-2⑦
⑦代入④得到rst=13⑧
②/⑧即得(r+s+t)/rst=-4/13