Question

已知函数f(x)=ax2+bx-a+2 (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(-1,3),求实数a,b的值

(2)若b=2,f(x)≥0对任意的a=[-2,1]恒成立,求x的取值范围

Answer 1

详细解答如下
解：
（1）做一个一元二次方程，使其解集是（-1,3）
（x+1）（x-3）<0
x²-2x-3<0
-x²+2x+3>0
f（x）=ax2+bx-a+2=-x²+2x+3
根据对应项系数相等得到
a=-1，b=2
【这种求a、b的方法，不用解繁琐的方程组，不错吧】
（2）b=2时
f（x）=ax²+2x-a+2
= a（x²-1）+2（x+1）
=（x+1）（ax-a+2）
f（x）>0
即：（x+1）（ax-a+2）>0
令（x+1）（ax-a+2）=0
x1=-1,x2=(a-2)/a
下面关键是比较-1和（a-2）/a的大小啦
①当a=1时，-1=（a-2）/a，原不等式变成（x+1）²>0
此时解集是{x|x≠-1}
②当0<a<1时，-1>(a-2)/a，
此时不等式的解集是（-∞，(a-2)/a）∪（-1，+∞）
③当a>1时，-1<(a-2)/a
此时不等式的解集是(-∞，-1)∪（(a-2)/a，+∞）

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第二题

Answer 2

详细解答如下
解：
（1）做一个一元二次方程，使其解集是（-1,3）
（x+1）（x-3）<0
x²-2x-3<0
-x²+2x+3>0
f（x）=ax2+bx-a+2=-x²+2x+3
根据对应项系数相等得到
a=-1，b=2
【这种求a、b的方法，不用解繁琐的方程组，不错吧】
（2）b=2时
f（x）=ax²+2x-a+2
= a（x²-1）+2（x+1）
=（x+1）（ax-a+2）
f（x）>0
即：（x+1）（ax-a+2）>0
令（x+1）（ax-a+2）=0
x1=-1,x2=(a-2)/a
下面关键是比较-1和（a-2）/a的大小啦
①当a=1时，-1=（a-2）/a，原不等式变成（x+1）²>0
此时解集是{x|x≠-1}
②当0<a<1时，-1>(a-2)/a，
此时不等式的解集是（-∞，(a-2)/a）∪（-1，+∞）
③当a>1时，-1<(a-2)/a
此时不等式的解集是(-∞，-1)∪（(a-2)/a，+∞）

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