Question

这道高数题怎么做？求大神。

这道高数题怎么做？求大神。求思路，，，

Answer 1

令f(x)=x^3+x+1，则f'(x)=3x^2+1>0，即f(x)在R上严格单调递增
因为f(0)=1>0，f(-1)=-1<0
所以根据连续函数零点定理，存在唯一的t∈(-1,0)，使得f(t)=0
即x-t是x^3+x+1的一个因式
x^3+x+1=(x-t)(x^2+tx-1/t)，其中t^3+t+1=0
1/(x^3+x+1)=1/(x-t)(x^2+tx-1/t)
=A/(x-t)+(Bx+C)/(x^2+tx-1/t)，其中A，B，C是待定系数
Ax^2+Atx-A/t+Bx^2-Btx+Cx-Ct=1
A+B=0，At-Bt+C=0，-A/t-Ct=1
A=t/(2t^3-1)，B=-t/(2t^3-1)，C=-2t^2/(2t^3-1)

所以1/(x^3+x+1)=[t/(2t^3-1)]*[1/(x-t)-(x+2t)/(x^2+tx-1/t)]
∫dx/(x^3+x+1)=[t/(2t^3-1)]*∫[1/(x-t)-(x+2t)/(x^2+tx-1/t)]dx
=[t/(2t^3-1)]*∫dx/(x-t)-[t/(4t^3-2)]*∫(2x+t+3t)/(x^2+tx-1/t)dx
=[t/(2t^3-1)]*ln|x-t|-[t/(4t^3-2)]*∫d(x^2+tx-1/t)/(x^2+tx-1/t)-[3t^2/(4t^3-2)]*∫dx/(x^2+tx-1/t)
=[t/(2t^3-1)]*ln|x-t|-[t/(4t^3-2)]*ln|x^2+tx-1/t|-[3t^2/(4t^3-2)]*∫dx/[(x+t/2)^2+(-t^2/4-1/t)]
因为-1<t<0，所以-t^2/4-1/t=-(t^3+4)/4t>0
原式=[t/(2t^3-1)]*ln|x-t|-[t/(4t^3-2)]*ln|x^2+tx-1/t|-[3t^2/(4t^3-2)]*[1/√(-t^2/4-1/t)]*arctan[(x+t/2)/√(-t^2/4-1/t)]+C，其中C是任意常数

Answer 2

原函数不能表为初等函数，只能得到数值积分解。

追问

兄弟，啥意思啊

追答

意思是，这个积分结果不能表示为初等原函数，即不可积（黎曼意义）。不可积的函数很多，比如根号下正弦函数的倒数。比如椭圆的周长计算等等。

Answer 3

有理函数积分，教材上有例题的，依样画葫芦就是。