Question

m为何值时,关于x的方程x^2-2(m+2)x+m^2-1=0两根都在(0,1)内

高中数学：m为何值时,关于x的方程x^2-2(m+2)x+m^2-1=0两根都在(0,1)内。

Answer 1

x²-2(m+2)x+m²-1=0
Δ=(-2(m+2))²-4(m²-1)=4(4m+5)
当Δ=4(4m+5)＞0，即m＞-5/4时，方程有两个不相等的实数根（这是下面三个问题的前提！）

（1）有两正根，其和为正，其积为正，根据韦达定理：-(-2(m+2))/1＞0，即m＞-2；(m²-1)/1＞0，即m＜-1 或 m＞1.∴m∈(-5/4,-1)∪(1,+∞)

（2）一正根一负根，其和不定，其积为负，根据韦达定理：(m²-1)/1＜0，即-1＜m＜1,∴m∈(-1,1)

（3）有一根位于区间（0，1）内，另一根位于区间（1，2）内，
根据求根公式：两个根分别是x1=m+2-√(4m+5),x2=m+2+√(4m+5),x2较大，所以要求x1∈（0，1）且x2∈（1，2），
当 x1∈（0，1）,即0＜m+2-√(4m+5)＜1 时,解得：3-√13＜m＜3+√13 且 -1＜m＜1，即-1＜m＜1；
但是，当-1＜m＜1时，2＜m+2＜3，1＜√(4m+5)＜3，所以3＜m+2+√(4m+5)＜6，所以此时不可能有x2∈（1，2）；所以无论m取何值，都不可能有两个根分别落在（0，1）和（1，2）两个区间。

追问

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Answer 2

方法
解构造函数f（x）=x^2-2(m+2)x+m^2-1
则由题知
f（1）＞0
f（0）＞0
0＜x=-b/2a=（m+2）＜1
Δ=4（m+2）^2-4（m^2-1）≥0
四式联立解得m即可。