Question

在△ABC中，若（a^+b^)sin(A-B)=(a^-b^)sinc,试判断△ABC的形状

Answer 1

三角形ABC的形状是直角三角形,证明如下:
∵a/simA=b/sinB=2R,
a=sinA*2R,b=sinB*2R,
(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B),
等式右边有:
(a^2-b^2)sin(A+B)=sin(A+B)*(a+b)(a-b)
=sin(A+B)*[(sinA+sinB)(sinA-sinB)]*(2R)^2
=sin(A+B)*{2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]*2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}*(2R)^2
=sin(A+B)*sin(A+B)*sin(A-B)*(2R)^2
左边的sin(A-B)跟右边的sin(A-B)约后有
(a^2+b^2)=[sin(A+B)]^2*(2R)^2,
而,A+B=180-C,
sin(A+B)=sinC,sinC=c/2R,则有
(a^2+b^2)=[sin(A+B)]^2*(2R)^2=(sinC)^2*(2R)^2=(c/2R)^2*(2R)^2=c^2.
即a^2+b^2=c^2.
三角形ABC的形状为直角三角形.

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