Question

在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作弧 AC ，F为 AC 上的一

在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，BA为半径作弧 AC ，F为 AC 上的一动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P，交DC于点Q．（1）求证△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半；（2）分别延长PQ、BC，延长线相交于点M，设AP长为x，BM长为y，试求出y与x之间的函数关系式．

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Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD， ∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°， 即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD， ∴DA和CD都是圆B的切线， ∵PQ切圆B于F， ∴AP=PF，QF=CQ， ∴△DPQ的周长是DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD， ∵正方形ABCD的周长是AD+AB+CD+BC=2AD+2CD， ∴△DPQ的周长等于正方形ABCD的周长的一半． （2）在Rt△PDQ中，由勾股定理得：DP 2 +DQ 2 =PQ 2 ， ∴（4-x） 2 +（4-CQ） 2 =（X+CQ） 2 ， 解得：CQ= 16-4x x+4 ， DQ=4- 16-4x x+4 = 8x x+4 ， ∵正方形ABCD， ∴AD ∥ BC， ∴△PDQ ∽ △MCQ， ∴ DP CM = DQ CQ ， 即 4-x y-4 = 8x x+4 16-4x x+4 ， ∴y= 8 x + 1 2 x， y与x之间的函数关系式是y= 8 x + 1 2 x．