Question

如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G. （1）求证：BF＝AE；（2）如图2，当点E在D

如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于G. （1）求证：BF＝AE；（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立（直接写结论）；（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF:AD＝4:3，求S 四边形MNPQ : S 正方形ABCD

Answer 1

（1）∵正方形ABCD ∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90° ∴∠DAE+∠ABG=90° ∵AE⊥BF ∴∠ABG+∠GAB=90° ∴∠DAE=∠ABG ∴△ADE≌△BAF ∴BF＝AE； （2）结论成立； （3）25：36

试题分析：（1）根据正方形的性质及同角的余角相等即可证得△ADE≌△BAF，问题得证； （2）证法同（1）； （3）先根据三角形的中位线定理证得MNPQ为正方形，再舍AD＝3a，则BF＝5a，MQ＝ ，再根据正方形的面积公式即可得到结果. （1）∵正方形ABCD ∴AD=AB，∠ADC=∠DAB=90° ∴∠DAE+∠ABG=90° ∵AE⊥BF ∴∠ABG+∠GAB=90° ∴∠DAE=∠ABG ∴△ADE≌△BAF ∴BF＝AE； （2）结论成立； （3）∵点M、N分别为四边形AFEB四条边AF、EF的中点， ∴MN∥AE且MN= AE， 同理可证：MQ∥BF且MQ= BF，PQ∥AE且PQ= AE，NP∥BF且NP= BF ∵AE=BF ∴MN=MQ=PQ=NP ∴四边形MNPQ是菱形 ∵AE⊥BF ∴∠MQP=90° ∴四边形MNPQ是正方形 设AD＝3a，则BF＝5a　 ∴MQ＝ ∴S 四边形MNPQ ：S 正ABCD ＝MQ 2 ：AD 2 ＝（ ） 2 　：（3a） 2 ＝25：36. 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.